WisFaq!

Integraal booglengte sinus

Kunt u mij vertellen hoe ik de volgende intergaal kan berekenen? $\int{}$sqrt (1+[cos x]²).dx

Heb ik het goed genoteerd? De bedoeling is dat er staat: de integraal (van de tweedemachtswortel uit (1 plus (cosinus kwadraat x)) maal dx.

Reactie

Genoemde integraal is gebaseerd op de stelling voor het berekenen van de booglengte van de grafiek van een functie, met als integrand het functievoorschrift van de halve cirkel met middelpunt O en r=1. De gestelde  integraal wil ik graag kunnen berekenen om na te gaan of de booglengte van sin(x) op het interval van O tot bijv. ¼ pi gelijk is aan de ¼ pi (de booglengte van de cirkelsector van (1,0) tot ¼ pi (rad) op de eenheidscirkel. Kunt u mij vertellen van de formeel-wiskundige afleiding is van de gestelde integraal (dus: hoe kan ik gestelde integraal zelf berekenen?) en wat het eindantwoord is. Dan wordt mijn vraag beantwoord.

Robert
15-12-2006

Antwoord

Deze integraal kan niet in termen van `elementaire' functies berekend worden; je zult hem dus numeriek aan moeten pakken.
Wat je tweede vraag betreft: de booglengte van de grafiek van sin(x) over, bijvoorbeeld, het interval [0,Pi/4] is niet gelijk aan Pi/4. Daar heb je geen integraal voor nodig: kijk naar de grafiek van sin(x). Het debetreffende stuk van de grafiek verbindt de punten (0,0) en (Pi/4,1/2·$\sqrt{2}$); de driehoeksongelijkheid impliceert dan al dat de lengte groter is dan Pi/4.

Zie Elliptische integralen [http://www.answers.com/topic/elliptic-integral]

kphart
17-12-2006