WisFaq!

Plastisch getal

Geachte meneer/mevrouw,

Ik heb al eerder vandaag een vraag over het plastisch getal gestuurd.
Misschien kan ik de vraag nog iets eenvoudiger stellen.

Dom van der Laan heeft het plastisch getal ondekt.

Hij had een vergelijking breedt/lengte=lengte/hoogte=hoogte/breedte+lengte

een van de verhoudingen van hem is 1+p+p²=p⁵

Breedt in de balk is 1,de lengt P en de hoogte P²

Als we dit in vullen in de vergelijking krijgen we:

1/p=p/p²=P²/(1+P)

Uit deze vergelijking zou dan het plastisch getal moeten komen.
Hoe los je deze vergelijking op?

Ik dacht met kruislingsvermenigvuldigen

Als ik de eerste twee doe, dan krijg ik p·p=p²·1 Dat is aan beide kanten hetzelfde. Dus oneindig veel oplossingen

Als ik de eerste met de derde doe, dan krijg je p²·p=1·(p+1) En dat wordt dan: p³-p-1=0

Als ik de tweede met de derde doe, krijg ik:

p·(p+1)=P²·P²

p²+p=p⁴

p⁴-p²-p=0

p(p³-p-1)=0

p=0 of p³-p-1=0

Volgens mij als ik het goed gedaan heb komt er uit de twee laatste uitwerkingen met kruislingvermenigvudigen p³-p-1=0 uit. Gaat dit zo goed of moet het anders?

Ik heb gelezen dat in een van jullie antwoorden staat:
p³=0, dat p dan 1,32471 is. Dat is hetzelfde als wat ik net uit het kruislingsvermenigvuldigen kreeg.

Dat klopt wel als je het invuld. Maar hoe los je dat algabraisch op? Hoe los ik de p op uit de vergelijking p³-p-1=0?

Er is ook nog een reeks die dom van der laan heeft gemaakt.

1,p,p²,P³,p⁴,p⁵,p⁶ en P⁷

of: 1,4/3,7/4,3,4,21/4 en 7

Hoe komt hij aan deze verhoudingen? Hij gaat uit van een breedt van 1. 4/3 zijn we hoop ik net uitgekomen. Kan je de overige verhoudingen ook afleiden, of is dat alleen maar een kwestie van de 4/3 invullen in de overige pⁿ?

Rob

Rob Timmer
11-12-2006

Antwoord

Beste Rob,

Het precies en algebraïsch oplossen van p³-p-1=0 gaat met de al in je eerdere antwoord genoemde formule van Cardano. Een flinke zoekopdracht moet je alle mogelijke informatie geven.

De formule 1+p+p²=p⁵ volgt uit 1+p=p³ (of p³-p-1=0) want daarmee:

1+p+p² = p³+p² = p²(1+p) = p²p³ = p⁵.

Die reeks van Dom van der Laan lijkt op benaderingen met breuken van 1, p, enz. Ik kan er verder geen dwingende regelmaat in ontdekken. Ik vind zelf 27/5 een betere benadering van p⁶ dan 21/4. Tussen 7/4 en 3 lijkt een getal te ontbreken, bijvoorbeeld 7/3. Het blijft voor mij verder gissen.

FvL
12-12-2006