WisFaq!

Valbeweging

Mijn vraag handelt meer over een fysisch onderwerp maar toch met een zeer wiskundige berekening: ik laat een steen vallen in een diepe put. Na vier seconden hoor ik dat hij gevallen is. Hoe diep is de put?
Gegeven: snelheid van het geluid afgerond: 340 m/s
Gegeven: valvernselling: 9,81 meter / (seconde in het kwadraat)
Gegeven: beginsnelheid: 0 meter / seconde

Ik heb reeds een belangrijke formule maar zit een beetje in de knoei met de weerkaatsing van het geluid. Wanneer je het geluid hoort ligt de steen al een fractie van een seconde op de grond, dus dat moet van je formule afgehaald worden om een correcte oplossing te bekomen.

hoogte op elk ogenblik = (beginsnelheid . tijd) + (1/2 . valversnelling . tijd in het kwadraat)

Dank bij voorbaat

Leys Benjamin
16-10-2002

Antwoord

Er zijn twee gebeurtenissen die hier spelen.

1. de val van de steen in de put met diepte s. stel dit duurt t₁ sec;
2. het geluid dat direct na het raken van de bodem, de hele weg s terug aflegt. Stel dit duurt t₂ sec.

Verder noemen we de snelheid van het geluid v_g.

Voor de eerste gebeurtenis geldt de formule voor de vrije val: s=½.g.t₁²

Voor de tweede gebeurtenis geldt de formule voor de afgelegde weg bij constante (geluids-)snelheid:
s=v_g.t₂

merk op dat we het bij beide gebeurtenissen over een-en-dezelfde afstand s hebben.

Tot slot moet gelden dat t₁+t₂=4
Uit deze gegevens moet de afstand s te halen zijn.

formule 1 en 2 kun je aan elkaar gelijkstellen want (zoals reeds opgemerkt) zijn beide s'sen identiek.
dus s=s ofwel ½.g.t₁²=v_g.t₂
Û t₂=g.t₁²/(2v_g)

dit invullen in de gelijkheid t₁+t₂=4 levert t₁ + g.t₁²/(2v_g)=4
Û g.t₁²/(2v_g)+t₁-4=0

Dit is een 2e-graads vergelijking in t₁ waarop je de abc-formule kunt loslaten.

t₁=(-1±(1-4.(g/2v_g).-4))/(g/v_g) = (alleen de + oplossing nemen, anders krijg je een t<0)
(-1+(1+16.9,81/680))/(9,81/340) = 3,79 s

Deze t₁ vul je in in s=½.g.t₁² en dit levert je 70 m. (misschien een afrondingsfout gemaakt).

Tot slot moet je altijd checken of je uitkomst reeel is!!. Wel, als je een object 4 sec een vrije val laat doorlopen, en je neemt voor het gemak g=10 ipv 9,81 dan krijg je s=½.10.4²=80m, dus dat klinkt redelijk aangezien v_g nog altijd veel groter is dan de valsnelheid na 4 sec, dus die heeft maar een klein tijdje nodig om het geluid weer je oor te laten bereiken.

groeten,
martijn

mg
16-10-2002