WisFaq!

Oppervlakte vlakdelen parametervoorstelling

Het punt A doorloopt een figuur L met parametervoorstelling x=cost en y=costsint.
Een vergelijking in x en y van het lemniscaat L is x⁴ -x²+y² =
1. Bewijs dat de coordinaten van A voldoen aan deze vergelijking.
(ik weet in ieder geval dat ik hiervan kan maken: (cos(t))⁴ - (cos(t))² +(cos(t))²·(sin(t))²)
2. Bereken de oppervlakte van de beide vlakdelen die door L worden ingesloten, waarbij de primitieve in de vorm van:
F(x) = a(1-x²)^b

Ik hoop dat u mij kunt helpen, vooral de tweede vraag gaat natuurlijk over integreren.
Mvg,
Maik

Maik
7-12-2006

Antwoord

Beste Maik,

Even een factor cos²(t) buiten haakjes brengen:

cos⁴(t)-cos²(t)+sin²(t)cos²(t) = cos²(t)(cos²(t)-1+sin²(t))

Wat weet je van cos²(t)+sin²(t)?

De grafiek is volledig symmetrisch, laten we een stuk bekijken door de positieve wortel te nemen:

y² = x²-x⁴ = x²(1-x²) ® y = xÖ(1-x²)

Als je dit integreert van 0 tot 1, heb je een kwart van de totale oppervlakte en de helft van één van de 'lobben'.

mvg,
Tom

td
7-12-2006