WisFaq!

Primitieve van arccos(wortel(x))

Opmerking tevoren: bij het primitiveren bepaal ik steeds één primitieve, waarbij ik de constante 0 laat zijn.

Gezocht is:
òarccos(Öy) dy

Ik heb gebruik gemaakt van de volgende regel:
òx dy = xy - òy dx

Waarbij x een functie van y is en y een functie van x, ze zijn elkaars inverse.

Ik neem nu x = arccos(Öy)
Dan bepaal ik de inverse:
y = cos²(x)

Ik maak gebruik van de regel:

òarccos(Öy) dy = y·arccos(Öy) - òcos²(x) dx
òcos²(x) dx = ò¹/₂+¹/₂cos(2x) dx = ¹/₂x + ¹/₄sin(2x)

òarccos(Öy) dy = y·arccos(Öy) - ¹/₂x - ¹/₄sin(2x)
òarccos(Öy) dy = y·arccos(Öy) - ¹/₂arccos(Öy) - ¹/₄sin(2arccos(Öy))

Deze laatste sinus kan met behulp van een rechthoekige driehoek worden herschreven. Ik doe dit als volgt:

q = 2arccos(Öy) Û ¹/₂q = arccos(Öy)

Ik teken een rechthoekige driehoek met een hoek ¹/₂q erin. Aan deze hoek ligt een rechthoekszijde met lengte Öy en de schuine zijde die eraan ligt heeft lengte 1.
Dan volgt met de stelling van Pythagoras dat de andere rechthoekszijde lengte Ö(1-y) heeft. Dus:

sin(¹/₂q) = Ö(1-y)
cos(¹/₂q) = Öy

Dus:

sin(q) = 2sin(¹/₂q)·cos(¹/₂q) = 2Ö(y-y²)
Terugsubstitueren geeft dus uiteindelijk:

òarccos(Öy) dy = y·arccos(Öy) - ¹/₂arccos(Öy) - ¹/₂Ö(y-y²)

Mijn antwoord verschilt echter met meerdere controlebronnen.
Wolfram Integrator heeft echter met grote waarschijnlijk een zeer vergelijkbare aanpak gebruikt. Deze site geeft precies mijn antwoord maar dan niet de term -¹/₂arccos(Öy) maar +¹/₂arcsin(Öy). Ik begrijp niet wat ik fout heb gedaan.

Kunt u mij de fout wijzen? Dank u!

Bart Kleyngeld
30-11-2006

Antwoord

Ten eerste: als je jouw antwoord differentieert (correct natuurlijk) en je krijgt de oorspronkelijke functie terug dan is jouw antwoord goed, ongeacht of het klopt met wat achterin een of ander boek staat.
Ten tweede: jouw antwoord en dat van Wolfram verschillen een constante want er geldt arccos(a)=$p/2-arcsin(a).

kphart
30-11-2006