WisFaq!

Evenwichspunt bepaling van een differentiaal vergelijking

Gegeven het systeem

ý₁ = y₁ - y₁y₂
ý₂ = y₁² - y₂

van differentiaalvergelijkingen. De vraag is om de evenwichtspunten en het (stabiliteits)type te bepalen. Wat wordt hier precies mee bedoelt?

Martin Koelewijn
29-11-2006

Antwoord

Een evenwichtspunt (a,b) hoort bij een constante oplossing van het stelsel. Dat wil zeggen het paar constante functies y₁(t)=a, y₂(t)=b moet een oplossing van het stelsel zijn. Als je dat, in jouw voorbeeld, invult krijg je 0=a-ab en 0=a²-b. De oplossingen zijn a=0 en b=0, of b=1 en a=1, of b=1 en a=-1. Dat zijn dus drie evenwichten.
Wat stabiliteit betreft: een evenwicht is stabiel als een oplossing die in de buurt begint ook in de buurt blijft, asymptotisch stabiel als zo'n oplossing naar het evenwicht toeloopt, en instabiel anders.
In je leerboek staat vast hoe je de stabiliteit aan de hand van de matrix van partiële afgeleiden kunt bepalen.

kphart
1-12-2006