WisFaq!

Bewijs door volledige inductie

Hey Wisfaq team ,
Ik heb een vraag ivm bewijs door inductie.Ik kan de bewijs niet helemaal bewijzen omdat ik een deel van het bewijs niet snap.Ik zal laten zien tot waar ik het kan en kunt u mij dan verder helpen aub?
D=afgeleide en tot de Nde macht

Dⁿ(1/x)=(-1)ⁿ ·n!/xⁿ+1
Deel 1: TB voor N=1

D(1/x)=-1/x² OK
Deel 2:
TB stel =k
D^k(1/x)=(-1)^k · k!/x^k+1

Nu Stel n=k+1
D^k+1(1/x)=(-1)k+1· (k+1)!/x^k+2
=== D^k+1(1/x)=D^k(-1/x²)=?
nu hierna wat moet ik nu doen de eerste afgeleide is -1/x² maar dan zit ik daar met die AFGELEIDE VAN K ( -1/x² )
hoe kan ik nu verder gaan? kunt u mij aub verder helpen?

Mvg,

Wahab
23-11-2006

Antwoord

stel het klopt voor n=k:
D^k(1/x)=(-1)^k·k!/x^k+1

dan moet de stelling ook voor k+1 kloppen.
Vul k+1 in in het rechterlid:
(-1)^k+1·(k+1)!/x^k+2
= -1·{(-1)^k·(k+1)!/x^k+2}
= -1·(k+1){(-1)^k·k!/x^k+2}
= [(-1)^k·k!/x^k+1]'
= [D^k(1/x)]'
= D^k+1(1/x)

groeten,
martijn

mg
23-11-2006