WisFaq!

Integreren mbv int factor

Hallo,

Ik moet de volgende opgave oplossen mbv de int. factor.
1/x·y'+2y-x²=0
Ik ben nu zover dat ik mbv de integrerende factor krijg:
ye^x=òx³·e^x
Alleen nu weet ik niet hoe ik de rechterkant verder om moet lossen. Met part. integratie kom ik er niet uit en substitutie ook niet.
Hopenlijk kan iemand me verder helpen.

Alvast Bedankt

Wouter
22-11-2006

Antwoord

vermenigvuldigen we de dv links en rechts met x, krijgen we:

y'+2x.y=x³

Dit is van de gedaante y'+ p(x).y = q(x)
de integrerende factor is dan I(x)=exp(òp(x)dx)

ofwel I(x)=exp(x²)

de dv vermenigvuldigen we met deze integrerende factor
I(x)y' + p(x)I(x)y = I(x)q(x) (deze vergelijking is 'exact')
Dit kan herschreven worden als: d(yI)/dx = Iq(x).
Beide zijden integreren naar x levert de vergelijking voor y.

dus d(y.exp(x²))/dx = x³.exp(x²)
links en rechts integreren naar x levert
y.exp(x²) = ¹/₂(x²-1)exp(x²)
(want: òx³.exp(x²)dx = òx.x²exp(x²)dx = ¹/₂òx²exp(x²)dx²
= ¹/₂òz.exp(z)dz = (partieel) ¹/₂([z.e^z] - òe^zdz)
= ¹/₂([z.e^z-e^z]) = ¹/₂(x²-1)exp(x²) )

hieruit volgt dat y=¹/₂(x²-1)
Check maar door deze weer in de oorspronkelijke dv in te vullen.

groeten,
martijn

mg
22-11-2006