WisFaq!

Stelling van Menelaos

Voor mijn p.o. wiskunde b1,2 moet ik de stelling van pascal in een cirkel bewijzen met behulp v/d stelling van menelaos. Maar de volgende bewijsvoering wat betreft de stelling van menelaos snap ik niet:

Stelling
Voor elk reëel getal k (=niet 1) is er is precies één punt P van AB met (ABP) = k.

Bewijs:
Zij (ABP) = k. Dan is PA : PB = k : 1
Met PA + AB = PB hebben we dan kPB - PB = - AB = BA; zodat
PB = BA / (k - 1)
Hierdoor is het punt P dus uniek bepaald

Ik denk dat dat komt door de schrijfwijze (ABP), waarbij P een punt op de lijn AB is.

Hierdoor snap ik het volgende ook niet:

Met het lijnstuk CC’ (met C’ op l en CC’//AB) vinden we
BPR ~ CPC’, zodat BR : CC’ = PB : PC
en
RAQ ~ C’CQ, zodat AR : CC’ = AQ : CQ
Nu is
(ABR)(BCP)(CAQ) =
= RA/RB . (BCP)(CAQ) = AQ/BP . PC/CQ . (- PB/PC) . (-QC/QA) = 1

Alvast bedankt, Michiel

Michiel Huisman
15-10-2002

Antwoord

Hoi,

Dit is interessant: http://www.pandd.demon.nl/meetkunde.htm.

Ik denk dat je vraag is naar de definitie van de deelverhouding (ABP) met P op de rechte bepaald door A en B (definitie op zelfde pagina). Het vervelende is inderdaad dat min-teken als P tussen A en B in ligt...
Je kan het beter begrijpen als je A,B en P als vectoren bekijkt: (ABP)=k zodat vector(PA)=k.vector(PB).
Als vector(PA) en vector(PB) in dezelfde richting wijzen, zal k>0 zijn en anders is k<0.

Hiermee kan je de rest van de redening volgen.

Groetjes,
Johan

andros
16-10-2002