WisFaq!

Benadering snijpunt meerdere lijnen

Hallo,

mijn vraag is de volgende: hoe kan je als je meerdere lijnen hebt (gemeten), die ongeveer een snijpunt hebben, het (theoretische) snijpunt bepalen?

Rob

Rob
15-10-2002

Antwoord

Hoi,

Dit is een klassieker die in de lineaire algebra thuishoort.
De i-de 'lijn' kan je voorstellen door åa_ij.x_j=b_i (i:1..n, j:1..m en n>m).
Of met A=[a_ij], B=[b_i] en X=[x_j]: A.X=B
In het algemeen heeft A.X=B met n>m (een zogenaamd overgedetermineerd stelsel) geen exacte oplossing, tenzij je afhankelijke vergelijkingen hebt.
We bekijken daarom A.X-B en meer bepaald ||A.X-B||. De minimale waarde hiervoor is de kleinste-kwadraten benadering. Je kan afleiden dat X dan moet voldoen aan A^t.A.X-A^t.B=0
Welnu: A^t.A is vierkant (mxm) en als det(A^t.A)¹0, vind je precies één oplossing: X=(A^t.A)^-1.A^t.B
(Als de vergelijkingen afhankelijk zijn, moet je uiteraad een minimum 0 bereiken.)

Groetjes,
Johan

andros
16-10-2002