WisFaq!

Bewijzen symmetrie

ik heb twee vragen:

1.Ik moet bewijzen dat A^T x A gelijk is aan A x A^T. Beide zijn symmetrisch. Moet ik dit bewijzen via transponeren?

2. A en B zijn nxn matrixen en beide zijn symmetrisch. Hoe kun je dan bewijzen dat AB = BA en alleen als AB symmetrisch is?

Alvast bedankt.

HRT
18-11-2006

Antwoord

Hallo,

1. Met transponeren ga je er niet komen denk ik, want (A^TA)^T=A^TA dus A^TA (en ook AA^T) is symmetrisch, maar daarmee bewijs je niet dat ze gelijk zijn. Ik zou het elementsgewijs doen: noem de elementen van je matrix A, a_i,j. Stel ook de elementen op van A^T (dus indices omwisselen). Gebruik de productformule om het (i,j)-element van AA^T te berekenen, en doe dat ook voor A^TA, je zal zien dat dit hetzelfde geeft.

2. Ene richting: AB=BA dus (AB)^T=B^TA^T=BA=AB
Andere richting: AB symmetrisch dus AB=(AB)^T=B^TA^T=BA.

Groeten,
Christophe.

Christophe
18-11-2006