WisFaq!

Faculteit

Waarom wordt nul faculteit gelijkgesteld aan 1?

C. Lybaert
16-11-2006

Antwoord

Beste Claudine,

Dat is een goede vraag! Voor alle duidelijkheid: het is een een conventie/overeenkomst dat we 0! gelijkstellen aan 1, we definiëren het zo - in feite is dat de reden waarom 0! = 1. De vraag die zich dan opdringt is waarom dit een zinnige, nuttige en/of logische definitie is.

Allereerst is er een argument uit gemakzucht: veel formules in de wiskunde kunnen vaak verkort genoteerd worden, bijvoorbeeld met sommaties. Het geval 0 levert daar soms problemen, bijvoorbeeld bij deling. Doordat 0! = 1 (en niet gelijk aan 0, wat een andere schijnbaar logische keuze zou zijn), kunnen veel formules eleganter en korter genoteerd worden.

Gewoonlijk zeggen we n! = n·(n-1)·...·1 of n! = n·(n-1)! Als we nu van achter naar voor kijken, dan is (n-1)! = n!/n. Op deze manier is 3! = 4!/4 = 6, 2! = 3!/3 = 2, 1! = 2!/2 = 1 en nu komt het: 0! = 1!/1 = 1. Op die manier is het logisch dat 0! gelijk moet zijn aan 1, als je naar die recursieve definitie kijkt.

Nog een argument zou de uitbreiding van de faculteit kunnen zijn (al klopt dat historisch niet, n! was 'eerst'). Er bestaat een uitbreiding (de Gamma-functie) die toelaat de 'faculteit' van niet-natuurlijke getallen te berekenen en uit deze functie volgt precies dat 0! gelijk is aan 1.

Tot slot: n! is het aantal manieren waarop je de volgorde van n verschillende objecten kan veranderen. Wiskundiger: als je een verzameling van n verschillende elementen hebt, dan kan je op n! deze elementen rangschikken. Het aantal manieren om 0 elementen te rangschikken is 1 (enkel de 'lege verzameling'): je neemt namelijk niets en dan houdt het op.

mvg,
Tom

td
16-11-2006