WisFaq!

Positieve gehele getallen

ik zit met een probleem waar ik niet weet waar ik zou moeten beginnen, nl. het volgende:
Beginnend bij 4 kun je alle positieve gehele getallen maken door:
1. x 10
2. x 10 + 4
3. :2 (als het getal even is)

Ik heb dit door de getallen 1 t/m 100 zelf op te schrijven door 1 van de bovenstaande punten toe te passen en dit is mij wel gelukt.
Maar hoe moet ik met de bewijs zelf dan beginnen?
Iemand enig idee?

Freek
9-11-2006

Antwoord

Ik zou het uit het ongerijmde doen: stel dat er een getal n₀ is dat je niet kan bereiken. Dan kan je natuurlijk ook niet 2n₀, 4n₀, 8n₀,... bereiken. En als n₀ op een nul eindigt, dan kan je ook n₀/10 niet bereiken (anders zou je n₀=10*n₀/10 wel kunnen bereiken). En als n₀ op een vier eindigt, dan kan je ook (n₀-4)/10 niet bereiken.

Goed, dan kunnen we beginnen:
- Stel dat n₀ op een 3 eindigt. Dan eindigt 8n₀ op een 4. Dus kan je n₁:=(8n₀-4)/10 ook niet bereiken.
- Een gelijkaardige redenering stel je nu op voor als n₀ op een 0, 1, 2, 4, 5,... eindigt.
- Herhaal telkens de stap. Zo krijg je een rij n₀,n₁,n₂,n₃,... Wat kan je van deze rij zeggen?

Hopelijk kan je het hiermee afmaken, anders reageer je maar.

Groeten,
Christophe.

Christophe
9-11-2006