WisFaq!

Berekening van de hoeken van een vierhoek

Beste,

Als je een vierhoek hebt en je kent de lengte van de zijden en de oppervlakte van het vierhoek. Kan je dan de hoeken berekenen? Ik heb reeds voorbeelden gevonden (Berekenen van een onregelmatige vierhoek) waar men zegt dat men niet genoeg informatie heeft aan enkel en alleen de zijden. Mijn vraag is echter of je dit wel kunt oplossen indien je een de oppervlakte hebt.

Alvast bedankt,
Met vriendelijke groeten

Niels
6-11-2006

Antwoord

dag Niels,

Dat is een leuke vraag!
Je kunt eerst eens proberen of je met Cabri op een idee kunt komen.

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

Teken eerst lijnstuk AB, dan de cirkel rond B met straal BC. Kies punt C op deze cirkel. Dan zijn er twee mogelijkheden voor punt D (D1 en D2).
Stel dat de oppervlakte van vierhoek ABCD gelijk moet zijn aan 10.
Verschuif punt C over de cirkel en kijk wat er met de oppervlaktes van de twee vierhoeken gebeurt.
Zie je dat er (maximaal) vier oplossingen zijn?
Je kunt er ook aan gaan rekenen.
Noem de zijden AB=a, BC=b, CD=c en DA=d.
Deze zijn bekend, evenals de oppervlakte O.
Noem de (onbekende) diagonaal BD=x.
Met de Formule van Heron kun je de oppervlakte van de driehoeken ABD en BCD uitdrukken in x. Je krijgt dan een vergelijking waarin twee wortels voorkomen, met onder elk wortelteken een vierdegraadsvorm. Dat wordt lastig. Ik zou hier zelf een computeralgebraprogramma gebruiken om deze vergelijking op te lossen.
Als je x kent, kun je ook de hoeken berekenen, bijvoorbeeld met de cosinusregel.
Kijk ook nog eens op maximale oppervlakte vierhoek.
groet,

Anneke
8-11-2006