WisFaq!

Deelbaarheid van polynomen

Goedenavond,
Graag een oplossing van volgend probleem. Ik heb er al flink op gezocht maar ik kom er niet uit.
x³+3px²+3qx+r is deelbaar door x²+2px+q.
Bewijs dat deze veeltermen respectievelijk een volkomen derdemacht en tweedemacht zijn?
Kunnen jullie een handje helpen aub?
Vriendelijke groeten

Lemmens hendrik
4-11-2006

Antwoord

x2+2px+q/x3+3px2+3qx+r\x+p
         x3+2px2+qx
             px2+2qx+r
             px2+2p2x+pq
                  2qx-2p2x+r-pq

We kunnen dan concluderen:

2qx-2p²x+r-pq=0
2x(q-p²)+(r-pq)=0

Of wel:

q-p²=0 Þ q=p² (1)
r-pq=0 Þ r=pq (2)

(1) invullen in x²+2px+q geeft:

x²+2px+p²=(x+p)²

(1) en (2) invullen in x³+3px²+3qx+r geeft:

x³+3px²+3p²x+p³=(x+p)³

Klaar...

WvR
4-11-2006