WisFaq!

Bijjectiviteit van een complexe functie aantonen

Beste Wisfaq,

Ik zit met het volgende probleem:

Zij a, b, c en d complexe getallen zodat ad-bc ¹ 0. We beschouwen de functie f: \{-d/c} ® \{a/c} waarbij f gegeven is door:

f(z)=(az+b)/(cz+d)

Ik probeer te bewijzen dat f bijectief is. Tot zover heb ik:

om te bewijzen dat f bijectief is moeten we bewijzen dat
w=(az+b)/(cz+d) waarbij w Î \{a/c} precies een unieke oplossing z Î \{-d/c} heeft. Echter ik ziet hier al vast, ik kan wel de vraag iets verder specialiseren maar weet niet hoe dit nu aan te tonen. Verder vroeg ik me af wat de restrictie ad-bc ¹ 0 voor betekenis heeft.

Ik hoop dat jullie me kunnen helpen,

Vriendelijke groet

Bas Frederiks
1-11-2006

Antwoord

Je kunt de functie f inverteren door w=f(z) op te lossen naar w; je krijgt dan z=g(w), waarbij g de inverse is. Een functie met een inverse is bijectief.
De voorwaarde ad-bc!=0 komt vanzelf naar voren als je de inverse gaat bepalen (je moet er op een gegeven moment door delen).

kphart
3-11-2006