WisFaq!

De hypergeometrische verdeling bij schattingen

Hallo!

Ik ben bezig met een Wiskunde boekje: Schatten, hoe doe je dat?
Ik ben bij een opgave gekomen waarbij ik de hypergeometrische verdeling moet gebruiken en begrijp niet hoe ik die moet opstellen (hoe ik aan de waardes N,W,n en k moet komen)m.b.t. de volgende informatie die tot nu toe bekend is:

Er wordt 60 keer een trekking gehouden, iedere trekking is een steekproef van 7 getallen uit de populatie 1,2,3,...,45.

Dus N=45

Hierbij wordt ook nog gebruik gemaakt van drie schatters:
Schatter S: N= X(7)+X(1)-1
Schatter R: N= 2·(het gemiddelde van de cijferreeks) -1
Schatter T: N= ((n+1)/n))·X(n) -1

Nu is er de vraag:
De schatter S geeft de uitkomst 45 als X(1)+X(7)=46
Dat kan op verschillende manieren, bijvoorbeeld X(1)=1 en X(7)=45 of X(1)=2 en X(7)=44 enz..
Laat zien dat P(X(1)=1 en X(7)=45)= (43 nCr 5) / (45 nCr 7) -- (43 boven en 5 onder) / (45 boven en 7 onder)


En voor de schatter T wordt het volgende gevraagd:
De schatter T neemt de waarde 45 aan als X(7)=40
Ga na dat P(T=45)=P(X(7)=40)= (39 nCr6)·(1 nCr1)/45 nCr7)

Nou snap ik dus niet hoe ze aan die uitkomsten komen. Welke waardes ze nemen voor N,W,n en k.
Ik hoop echt dat u dit uit kunt leggen...
Alvast bedankt!

Mvg.
MS

MS
31-10-2006

Antwoord

Beste MS,
Bij de opgave waar je mee zit staat nergens dat je de hypergeometrische verdeling moet gebruiken.
Dat maakt het dus een stuk eenvoudiger.
Nu je vraag. De kans P(X(1) = 1 en X(7) = 45) ?
Dat is de kans dat de nummers 1 en 45 beide in de steekproef voorkomen. Die kans is het aantal mogelijkheden dat aan deze voorwaarde voldoet(1 en 45 zijn getrokken) : Dat is (43 nCr 5) , het aantal manieren waarop de 5 andere nummers in de steekproef kunnen worden gekozen uit de nummers 2 t/m 44.
En dat moet je dan delen door het totaal aantal mogelijkheden om 7 nummers uit 45 te trekken: (45 nCr 7) dus. Dat is alles.
Op dezelfde manier: P( X(1) = 2 en X(7) = 44) = (41 nCr 5) / (45 nCr 7), want nu is het kleinste van de getrokken nummers 2 en het grootste 44 en de andere 5 kunnen op (41 nCr 5) manieren uit de nummers 3 t/m 43 gekozen worden.
Voor de tweede vraag dezelfde redenering: P(X(7) = 40) = ..
Nu is de grootste in de steekproef 40 en de andere 6 worden dus gekozen uit 1 t/m 39. Dat is alles. succes ermee.
mvg

JCS
1-11-2006