WisFaq!

ODE in t met functie afhankelijk van t

alleee, hoe los ik de ode op:

T''(t)+ c²*T'(t)+a(t)=o

Met T de gevraagde functie afhankelijk van t
en met a een andere functie afhankelijk van t
en met c een constante

sallukes, H

hendrik
31-10-2006

Antwoord

Eerst even een stukje proza uit "Schaum's outlines on Differential Equations":

Een 1e orde lineaire dv heeft de vorm:
y' + p(x).y = q(x)
Een "integrating factor" voor deze dv is
I(x)=exp(òp(x)dx)
Welke alleen van x en niet van y afhangt. Wanneer beide zijden van de dv worden vermenigvuldigd met I(x) krijgen we:
I(x)y' + p(x)I(x)y = I(x)q(x) (deze vergelijking is 'exact')
Dit kan herschreven worden als: d(yI)/dx = Iq(x).
Beide zijden integreren naar x levert de vergelijking voor y.
----------------

Wanneer we dit vergelijken met jouw probleem:
T"(t) + c²T'(t) + a(t)=0 Û
T"(t) + c²T'(t) = -a(t)
dan heeft T'(t) de rol van y(x);
c² de rol van p(x);
-a(t) de rol van q(x).

de "integrating factor" is dus I(t)=exp(òc²dt)=exp(c²t)

Zodat je dv verandert in:
d(T'(t).exp(c²t))/dt = -a(t).exp(c²t)

Dit levert je als uitdrukking voor T'(t) op:
T'(t)= (ò-a(t).exp(c²t)dt)/exp(c²t)

nògmaals integreren naar t levert je de uitdrukking voor T(t)

Kun je hier verder mee?

groeten,
martijn

mg
31-10-2006