WisFaq!

Limiet van een recursieve rij

Ik zit met een probleem in verband met het berekenen van een rij:

lim_n-¥ b_2n = a_n+1/a_n

a(n) is de rij van fibonacci

Ik weet dat de oplossing van de limiet gelijk is aan (1+ Ö5 )/2 maar niet helemaal hoe je er aangeraakt.

michael goossens
28-10-2006

Antwoord

Zoals bekend geldt voor de Fibonaccirij: F_n+1=F_n+F_n-1
Dus F_n+1/F_n=(F_n+F_n-1)/F_n=1+F_n-1/F_n.
Noemen we nu F_n+1/F_n=x en veronderstellen we dat de limiet bestaat, dan is F_n-1/F_n=1/x.
We krijgen dus de vergelijking x=1+1/x = x²=x+1 = x²-x-1=0.
Oplossen van deze vergelijking geeft x=(1±Ö5)/2

hk
28-10-2006