WisFaq!

E-macht-grafiek met een vraag over afstand tot de oorsprong

Gegeven de grafiek f(x)= (x+1).e^(1-x) met domein
Bereken het punt op de grafiek van f dat het dichtst bij de oorsprong ligt.
Ik heb al alles geprobeerd, maar ik kom steeds op een punt met x-coordinaat= 1,45 maar dit kan niet juist zijn als je kijkt naar de grafiek.

Help mij a.u.b.
Trees

Trees
26-10-2006

Antwoord

Hallo,

Een punt op de grafiek heeft coördinaten (x,f(x)), dus (x,(x+1)e^1-x).

De afstand van zo een punt tot de oorsprong wordt dan gegeven door:
√(x²+((x+1)e^1-x)²)

Of je nu eist dat de afstand minimaal is, of het kwadraat van de afstand, maakt geen verschil, dus we gaan eisen dat x²+((x+1)e^1-x)² minimaal is. Dat is dan een typisch extremumvraagstuk: vind de afgeleide van deze functie en stel dat gelijk aan nul, en los op. Dat is echter niet op te lossen met elementaire functies, dus je zal die nulpunten moeten vinden met een rekentoestel of pc-programma. Ik kwam uit op de nulpunten:
0 ; 1.447542160 ; -0.9809739839
Dus die 1,45 die je had is inderdaad één van de drie kandidaat-oplossingen.

Je kan dan ook de afgeleide functie eens plotten om te zien waar je afstandsfunctie stijgend dan wel dalend is, en zo zie je welk van bovenstaande punten maxima of minima zijn voor die afstandsfunctie. Of je vult gewoon de punten in in je afstandsformule, en die met de kleinste functiewaarde is dan het gezochte antwoord. Volgens mij is dat dan het punt met x-coördinaat -0.98... En dat wordt bevestigd door de grafiek.

Groeten,
Christophe.

Christophe
26-10-2006