WisFaq!

Re: Algebraisch oplossen van x² = sin x

Bedankt voor het antwoord. Ik heb echter een ander soort gelijk probleem wat ik niet kan oplossen op deze manier. Ik zoek nu de grootst mogelijke r zodat |tan(x) - x| C|x^r| voor een C groter dan 0 wanneer x ® 0. Ik heb geprobeerd om tan(x) als mclaurin reeks te schrijven (omdat x -- 0) maar kan aan de hand hiervan niet afleiden dat de maximale r drie is.

Tim Bakker
26-10-2006

Antwoord

De McLaurinreeks is inderdaad een goed idee hier (en bij de vorige opgave ook eigenlijk). Als je die van tangens opzoekt of opstelt, en je trekt er x af, dan krijg je als eerste term x³/3 (absolute waarde genomen).

Dus |tan(x)-x|=x³/3 + O(x^5). Die O stelt de orde voor, betekent dat de verdere termen allemaal graad 5 of hoger hebben. Als je dan r groter dan 3 kiest dan kan er geen C bestaan waarvoor de ongelijkheid geldt, want dan zou je hebben:
|tan(x) - x| C|x^r|
x³/3 + O(x^5) C|x^r|
x^3-r/3 + O(x^5-r) C

Maar die eerste term uit de laatste ongelijkheid gaat naar oneindig als x naar nul gaat, dus je kan geen C vinden zodat de ongelijkheid geldt voor elke x in een omgeving van nul.

Dus r3 mag niet, r3 duidelijk wel (met C=1/3 of groter).

Dezelfde redenering, maar dan met de McL reeks van sinx was ook een manier om de vorige oefening op te lossen...

Groeten,
Christophe.

Christophe
26-10-2006