WisFaq!

Algebraisch oplossen van x² = sin x

Beste Wisfaq,

Ik ben op zoek naar de grootst mogelijke waarde van a zo dat |sin x| x^a. Ik weet echter niet hoe men vergelijkingen als als x = sin x en x² = sin x algebraisch op lost. Ik hoop dat jullie me kunnen helpen,

Vriendelijke groet,

Tim bakker

Tim bakker
25-10-2006

Antwoord

Je bedoelt allicht dat de ongelijkheid moet gelden voor x0 ? Nu is het zo dat gelijkheden waarin goniometrische functies samen met veeltermen voorkomen, meestal geen algebraïsche oplossingsmethode hebben. Dat valt hier echter nogal mee: je ziet immers dat x=0 een snijpunt van beide functies is. De vraag is dan enkel: voor welke a zijn er geen andere snijpunten.

a=1 is duidelijk nog een goede oplossing: y=x is immers de raaklijn aan sin(x) in x=0, en de functie sin(x) heeft overal een helling van cos(x), wat maximum 1 is, dus ligt sin(x) overal onder x. Een grafiek leert dat voor hogere a-waarden je snijpunten krijgt tussen de twee grafieken. En dat is ook logisch: kijk naar de afgeleide van
g(x) := sin(x) - x^a
in het punt nul, je krijgt 1. Dus g is stijgend, dus bestaat er een c 0 zodat g(x) positief is in het interval ]0,c[. En vermits duidelijk g(1)0, heb je wegens de tussenwaardestelling dat er een d bestaat in ]0,1[ waarvoor g(d)=0.

Groeten,
Christophe.

Christophe
25-10-2006