WisFaq!

Somrij van een meetkundige rij

Gegeven is de rij U_n = 32·1,5^n-1
Bereken S₁₀.

Bij de uitleg in mijn boekje staat dan dat je U₁₁ moet uitrekenen. Ik snap niet waarom dit zo is.

Ik hoop dat u me verder kan helpen,
Bedankt

Xander
13-10-2002

Antwoord

Beste Xander,

De hele truc van de somformule voor een meetkundige rij is gebaseerd op de volgende rij van vergelijkingen die je krijgt door haakjes wegwerken:

(x-1)(x+1) = x² - 1
(x-1)(x²+x+1) = x³ - 1
(x-1)(x³+x²+x+1) = x⁴ - 1
...

De regelmaat in deze rij laat zich heel eenvoudig voortzetten!

Maar de laatste vergelijking, bijvoorbeeld, betekent natuurlijk ook, aangenomen dat x¹1, dat

(x³+x²+x+1) = (x⁴-1)/(x-1)

Laten we nu jouw oorspronkelijke rij nemen, dan moeten we berekenen

32·(1,5⁹ + 1,5⁸ + ... + 1,5² + 1,5¹ + 1,5⁰)

en dat is volgens de zojuist gevonden regelmaat gelijk aan

32·(1,5¹⁰ - 1)/(1,5 - 1) =
(32·1,5¹⁰ - 32·10⁰)/(1,5 - 1) =
(U₁₁ - U₁)/(1,5 - 1).

Ik hoop dat je nu duidelijk is hoe de algemene formule kan worden afgeleid en dus waarom U₁₁ verschijnt!

FvL
14-10-2002