WisFaq!

Bewijs formule oppervlakte cirkel

Hoe bewijs ik dat de oppervlakte van een cirkel gelijk is aan $\pi$r²?
Ik zou denken: 4·/ò/î(r²-x²).dx tussen de integratiegrenzen 0 en 1, maar hoe werk je die integraal uit?

Robert
23-10-2006

Antwoord

Het functievoorschrift van een halve cirkel luidt: (middelpunt (0,0), straal r)
y=Ö(r²-x²)
de oppervlakte van de halve cirkel is:
(integratiegrenzen -r tot r) òy.dx = òÖ(r²-x²)dx
dit levert een heel rottige primitieve. (maar niet onmogelijk)
Wat je hier in feite doet, is de oppervlakte van een (halve) cirkel uitrekenen dmv verticale 'reepjes'.

Wat mooier is, is de volgende aanpak:
We rekenen de oppervlakte van een cirkel uit, dmv ringen. Net als jaar-ringen in een boomstam.
integratiegrenzen van 0 tot r ò2pr.dr
= pr²

groeten,
martijn

mg
23-10-2006