WisFaq!

Formules bewijzen

Hier nog een mailtje van mij! Ik heb nog een paar probleempjes. Dit zijn ze:

je moet bewijzen dat cos²(alfa-(pi/6))= 1-cos²(alfa+(pi/3))
ik zou echt niet weten hoe ik hier moet aan beginnen! Kunnen jullie me een tip geven en me opweg helpen ?

Ook heb ik een probleempje met deze oefening:

(2sinbeta)/(cosalfa + cosbeta)= tan(alfa + beta)/2 - tan( alfa - beta)/2
Bij deze oefening heb ik in het begin de formules van simpson gebruikt bij het optellen van de cosinussen en de tangensen allebei omgezet in sinussen over cosinussen ...Wat gebeurd er nu eigenlijk ? Ik zit elke keer vast en ik heb daar geen inzicht in, is er geen manier om er inzicht in te krijgen want ik ken mijn formules ehct heel goed vanbuiten en toch lukt het niet!

Nog een laatste probleempje:
als cosafa = -4/5 ( alfa is een element van het derde kwadrant ) en alfa + beta is pi/2 bereken dan tan2beta, sin (alfa+beta) en sin (alfa/2). Hoe bereken je dan de sinbeta precies ? Ik weet dat je het aan de hand van de pi/2 doet en met omzettingen maar hoe precies?

Echt heel veel bedankt voor jullie hulp !! Jullie hebben me echt al veel geholpen thanks hoor! Nog vele groetjes.

Overlord
11-10-2002

Antwoord

Hoi,

(1): cos²($\alpha$-^$\pi$/₆)=1-cos²($\alpha$+^$\pi$/₃)...
Bedenk dat cos($\alpha$-^$\pi$/₆)=cos(^$\pi$/₆-$\alpha$)=sin(^$\pi$/₂-(^$\pi$/₆-$\alpha$))=sin(^$\pi$/₃+$\alpha$). Hiermee red je het wel...

(2): een truukje hier:
$\alpha$=($\alpha$+$\beta$)/2+($\alpha$-$\beta$)/2 en $\beta$=($\alpha$+$\beta$)/2-($\alpha$-$\beta$)/2...

Of met minder schrijfwerk en dichter bij de klassieke formules van Simpson:
Neem x=($\alpha$+$\beta$)/2 en y=($\alpha$-$\beta$)/2, zodat: $\alpha$=x+y en $\beta$=x-y.
Te bewijzen:
2sin(x-y)/[cos(x+y)+cos(x-y)]=tg(x)-tg(y).

2sin(x-y)/[cos(x+y)+cos(x-y)]=2(sin(x).cos(y)-cos(x).sin(y))/(2.cos(x).cos(y))=sin(x)/cos(x)-sin(y)/cos(y)=tg(x)-tg(y) (QED)

(3): $\alpha$ en $\beta$ zijn complementair. Je weet zeker dat dit betekent dat sin($\alpha$)=cos($\beta$) en cos($\alpha$)=sin($\beta$).
Je weet ook dat sin²($\alpha$)+cos²($\alpha$)=1 en omdat $\alpha$ in het IIIde kwadrant ligt, ken je het teken van sin($\alpha$). Je kent dus de sin en de cos van $\alpha$ en dus ook van $\beta$. Daarmee kan je al een eind op weg...
Verder zie dat $\alpha$/2 tussen ^$\pi$/₂ en 3^$\pi$/₄ en dus in het IIde kwadrant moet liggen en daarmee ken je het teken van sin($\alpha$/2).
Uit cos($\alpha$)=1-2.sin²($\alpha$/2) haal je dan sin($\alpha$/2).

Groetjes
Johan

(Let op: de info over de kwadranten dient om het teken te bepalen van de sin of de cos. Het makkelijkste is om je de goniometrische cirkel voor te stellen of om die daadwerkelijk te tekenen.)

andros
14-10-2002