WisFaq!

Volledige inductie op rij

Gegeven is de rij a₀, a₁, ..., a_n. Deze is recursief gedefinieerd door:

a₀ = a₁ = 2
a_n+2 = 2a_n+1 + a_n - 3 voor alle n 0.

Te bewijzen met volledige inductie naar n dat voor alle n 3 geldt dat:

a_n4

Voor n=2 geldt:
a₂ = 2a₁ + a₀ - 3 = 3
Dus:
a₃ = 2a₂ + a₁ - 3 = 6 + 2 - 3 = 5 4. Dit klopt.

Ik neem nu aan dat de te bewijzen stelling voor alle n3 klopt en ga aantonen dat deze ook voor n+14 geldig is.

Aan te tonen dat geldt: a_n+14

a_n+1 = 2a_n + a_n-1 - 3.
Uit de inductiestap volgt dat a_n[=4] dus 2a_n8.

Dit betekent dat wanneer a_n-1-1, dan is datgene wat aan te tonen is aangetoond. Hier treedt mijn probleem echter op. Ik vind het aannemelijk, maar mag het niet aannemen uiteraard. Hoe toon ik aan dat a_n-1-1?

Dank! :)

Bart Kleijgeld
15-10-2006

Antwoord

Beste Bart,

Ik zou deze inductie wat simpeler houden.

We hebben a₀=a₁=2, a₂=3, a₃=5, a₄=10.

Nemen we een m5 dan mogen we aannemen dat a_m-1 en a_m-2 aan de inductiehypothese voldoen.

De rest zal geen probleem zijn.

Groeten,
FvL.

FvL
15-10-2006