WisFaq!

De inhoud van een omwentelingslichaam rond de y-as

hallo, ik ben tijdens het maken van toets-opgaven als oefening voor de komende toets op deze vraag gestuit. omdat ik het onderwerp nog niet helemaal snap en er echt geen enkele plaats is waar ik mijn antwoord kan nakijken (geen leraar meer te bereiken, geen antwoordenboek, geen site...) heb ik hier mijn vraag naar toe gestuurd...

Gegeven zijn de functies f(x)=4-xÖx en g(x)=2
G is het gebied dat wordt ingesloten door beide grafieken en de y-as. Dit vlakdeel wordt om de y-as gewenteld.
Bereken de inhoud van het lichaam dat daardoor ontstaat.

zodoende heb ik eerst het x-coordinaat van de grafiek van f(x) berekend voor y=2:

4-xÖx=2
xÖx=2
x^3/₂=2
x=2^2/₃

vervolgens heb ik x uitgedrukt in y:

y=4-xÖx
x^3/₂=-y+4
x=(-y+4)^2/₃

en vervolgens de inhoud van het omwentelingslichaam berekend:

ò[0,2^2/₃ ((-y+4)^2/₃)²dx
ò[0,2^2/₃ (-y+4)^4/₃
[³/₇·-1·(-y+4)^7/₃][0,2^2/₃
[-³/₇(-y+4)^7/₃][0,2^2/₃
(-³/₇(-2^2/₃+4)^7/₃)-(-³/₇(-0+4)^7/₃

vervolgens heb ik dit met de rekenmachine uitgerekend:

-3,35+10,09=6,74

dit antwoord klinkt plausibel, maar ik weet nou niet of ik geen fouten heb gemaakt in mijn berekening, en ook niet of er misschien een veel makkelijkere manier is om dit te berekenen...

alvast bedankt...

Carel
15-10-2006

Antwoord

Volgens mij was je al wel een aardig eind op de goede weg.



Het ging er dus om om het vlakdeel ingesloten door f(x), g(x) en de y-as, te wentelen om de y-as.
'Normaal', als je een functie om de x-as moest wentelen, kreeg je een integraal in de vorm van:
V=pòy²dx

(vergeet die p niet!)

Nu je het gebied om de y-as moet wentelen, wordt het een integraal die eruit ziet als:
V=pòx²dy
Dus inderdaad: we moeten vwb f(x), x uitdrukken in y:
x=(4-y)^2/3
Kijken we verder goed naar de grafieken in het plaatje dan blijkt dat het gaat om de integraal van y=2(benedengrens) tot y=4(bovengrens) van
V=pòx²dy = pò((4-y)^2/3)²dy
= pò(4-y)^4/3dy
= p.[-3/7.(4-y)^7/3]

... nu nog de grenzen invullen.

groeten,
martijn

mg
15-10-2006