WisFaq!

Re: Meetbare deelverzamelingen

Hoi,

Ik heb nog enkele vragen:

over punt 3
vraag1.
Dat E bevat is in de doorsnede komt omdat E bevat is in iedere O_k, en dat E bevat is in iedere O_k door de manier waarop O_k gedefinieerd is?

vraag2.Ik begrijp niet waarom als E gesloten is dat dan d(x,E)0.

vraag3.Je hebt aangetoond dat als x niet in E dat dan x niet in O_k.Dus als x in O_k dan x in E (voor ieder k).
Hieruit volgt dat iedere O_k in E en dus dat de doorsnede in E zit?
Dus E=doorsnede O_k.

vraag4.Welke norm moet je hier gebruiken?

tegenvb1.
vraag5.Waarom ligt N gesloten in R?

vraag6.Waarom is m(E)=0 en m(O_n) oneindig?Hoe bereken je deze maten?

Omdat m(O_n) niet eindig is wordt er dus niet aan de tweede voorwaarde in de stelling voldaan, dus geldt niet dat m(E)=lim m(O_n) voor n gaat naar oneindig.Correct?

tegenvb2.
vraag7.Hoe weet je dat er een gesloten verz. K in [0,1] bestaat die niet dicht ligt in [0,1]?Hoe ben je op deze verz. gekomen?

vraag8.Hoe bereken je m(K)?

vraag9.Hoe bereken je m(E)?

vraag10.Voor elke n ligt [0,1] in O_n, dus m(O_n) =1 voor alle n.Waarom is dit zo?

Waarom volgt nu dat de uitspraak niet klopt?

Groetjes,

Viky

viky
11-10-2006

Antwoord

1. ja, als x in E dan geldt d(x,E)=0, dus d(x,E)1/k voor elke k
2. de definite van gesloten: het complement U van E is open, dus als x niet in E dan x in U en dan is er per definitie een epsilon0 met B(x,epsilon) in U. Dan is d(x,E)epsilon.
3. Nee als x niet in E dan is er een k (afhankelijk van x) met x niet in O_k; en dus x niet in de doorsnede van de O_k
4. de norm is niet belangrijk, zolang hij maar de gewone topologie van R^d voortbrengt.
5. laat zien dat het complement open is
6. a Elk punt heeft maat nul, N is aftelbaar, dus m(N)=som(m({k}),k in N)=0
b O_n is de vereniging van de intervallen (k-1/n,k+1/n) (k in N) elk interval heeft maat 2/n, de totale maat van O_n is dit getal maal oneindig, dus oneindig
c nee, je `dus' is misplaatst dat m(E) niet de limiet van de m(O_n) is volgt gewoon omdat m(E)=0 en lim m(O_n)=oneindig
7. Dat is een standaard constructie uit de maattheorie: je doet de constructie van de Cantorverzameling na maar in plaats van het middelste derde interval laat je telkens intervallen weg waarvan de totale lengte gelijk is aan 1/2; het complement is die K (K is nergens dicht: er past geen interval in).
8. De maat van het interval (0,1) is 1, het complement E van K heeft maat 1/2, dus K heeft ook maat 1/2.
9. zie boven: de som van de lengten van de intervallen
10. De maat is monotoon

kphart
16-10-2006