WisFaq!

Partieel integreren

Hoe los ik de volgende som exact op? we hebben al van alles geprobeerd maar komen er niet uit. ik hoop dat iemand mij hier mee kan helpen

[-1/2pò1/2p]y²cos²(y)dy

rob
11-10-2006

Antwoord

Beste Rob,

Die cos²y maakt t natuurlijk allemaal wat lastig, dus moesten we eerst maar eens kijken of we daar wat aan kunnen 'doen'.
Even wat gonioformuletjes uit de kast trekken die je vast nog wel kent:
cos2x=cos²x-sin²x
= 1-2sin²x
=2cos²x-1

uit die laatste volgt dat: cos²x=¹/₂+¹/₂cos2x
Laten we deze dus eens gebruiken voor jouw integraal:

òy²cos²ydy = òy²(¹/₂+¹/₂cos2y)dy
= ò¹/₂y²+¹/₂y²cos2ydy
Het eerst stukje (¹/₂y²) kun je wel primitiveren. Het gaat nu natuurlijk om het stukje ¹/₂y²cos2y. Laat ik je een eindje op weg helpen:
ò¹/₂y²cos2ydy = [¹/₄y²sin2y]-ò¹/₂ysin2ydy

(nu moet je dus nògmaals partieel integreren. let goed op de min-tekens)

... = [¹/₄y²sin2y]- {[-¹/₄ycos2y]-ò-¹/₄cos2ydy}
= [¹/₄y²sin2y+¹/₄ycos2y]-ò¹/₄cos2ydy ...

zou je em nu verder weer zèlf kunnen?

groeten,
martijn

mg
11-10-2006