WisFaq!

Differentieren en limieten

Beste Wisfaq:

Ik kom niet uit het volgende probleem (het is me ook niet helemaal duidelijk wat er word bedoeld):

Allereerst moet ik aantonen dat (aangenomen dat f(x) differentieerbaar is in een punt p)

lim(Dx-0) f(p+Dx)-f(p-Dx)/2Dx=f'(p)

Dit lukt me nog wel;

lim(Dx-0) f(p+Dx)-f(p-Dx)/2D-f(x)+f(x)x
=lim(Dx-0) f(p+Dx)-f(p)+f(p)-f(p-Dx)/2D
=1/2*2*f'(p)=f'(p)

Ik kom echter niet uit het tweede deel van de vraag:
Vind een functie die niet differentieerbaar is in een punt p maar waarvoor de gegeven limiet wel bestaat en dus een (incorrecte) afgeleide geeft.

Mijn eigen idee was: g(x)=lnx, dan g'(x)=1/x. En voor x0 geeft g'(x) wel een waarde voor de r.c. maar omdat g(x) zelf niet is gedefineerd voor x0 is dit een incorrecte/irrelevante afgeleide. Echter maak ik nu geen gebruik van de gegeven limiet (dit niet echt een meerwaarde is bij de beredenering) en bovendien vind ik het zelf nogal een slecht voorbeeld omdat het nogal logisch is dat de afgeleide incorrect/niet relevant is als de functie zelf neit bestaat op een interval. Mijn pogingen om een zelfde redenering te volgen voor bijvoorbeeld h(x)=|x| (zodat de afgeleide niet bestaat in x=0) leveren echter niets op. Ik hoop dat jullie me dan ook kunnen helpen.

mvg

Tim Bakker
11-10-2006

Antwoord

De gegeven definitie gebruikt nergens de waarde van f voor x=p.
Je kunt dus zoeken naar een functie die overal continu is behalve voor x=p. Een aardig voorbeeld lijkt me f(x)=(x-p)/(x-p). Een tweede, minder triviaal voorbeeld: f(x)=(x²-p²)/(x-p).

Je kunt inderdaad ook een functie nemen die wel continu is voor x=p, maar niet differentieerbaar voor x=p.
Bijvoorbeeld: f(x)=|x-p|.
Het gevraagde quotient is dan altijd nul, dus bestaat de limiet, maar is niet gelijk aan de afgeleide.

hk
11-10-2006