WisFaq!

Saldo spaarrekening

Op 1 januari 2000 bedroeg het saldo van een spaarrekening 10.000 euro. Elk jaar wordt op 31 december de rente a 4,5 procent bijgeschreven. Daarnaast stort de rekeninghouder op die dag nog eens extra 900 euro op zijn spaarrekening.

Stel een differentiaalvergelijking op waarmee de groei van het saldo K wordt beschreven. Los de differentiaalvergelijking op.


Ik had al tot zover:
DK = (0,045 K + 900) * DK = 900Dt + 0,045KDt
dk/dt = 900 + 0,045 K.
Maar hoe weet je nu wat K is?
Hopelijk kunt u mij helpen.
Bvd,
Maik

Maik
10-10-2006

Antwoord

Noemen we 1 januari 2000: t=0 en 1 januari 2001: t=1, dan is K(0)=10000.
K(1) is dan K(0)+(900+0,045*K(0))=10000+(900+0,045*10000)=10000+(900+450)=11350.
Vervolgens kun je K(2) berekenen, enz.

Ik verbaas me een beetje dat je dit een differentiaalvergelijking noemt.
Volgens mij is het een differentievergelijking. Ik behandel het dan ook maar verder zo.
Het oplossingsmodel voor een differentievergelijking van de vorm u(t+1)=a.u(t)+b is
u(t)=b/(1-a)+(u(0)-b/(1-a))*a^t (zie formulekaart)
We weten K(t+1)=K(t)+DK=K+900+0,045K=1,045K+900.
Conclusie: da a in de formule is 1,045 en de b in de formule is 900. Bovendien weten we K(0)=10000.
Nu even invullen en je hebt je antwoord.

hk
12-10-2006