WisFaq!

Hoofdwaarde van het argument

Ik maak steeds opgaven, maar bij de hoofdwaarde van het argument gaat het mis.

gegeven:

z1 = 4-4i
z2 = 2+2iÖ3

Bereken modulus en hoofdwaarde van het argument van:

z1*(z2)^-1

(z2)^-1 = -1/8 - (Ö3/8)i

Modulus z1 is gelukt, deze is 4Ö2
Modulus (z2)^-1 is gelukt, deze is 1/4

Dus: modulus van z1*(z2)^-1 is gelijk aan:
4Ö2 * 1/4 = Ö2

Dit gaat allemaal goed. Nu bereken ik de de hoofdwaarde van het argument.

f(z1) = arccos(4/(4Ö2)) = p/4
f(z2)^-1 = arccos((-1/8)/)1/4)) = (2p)/3

Dus f(z1*(z2)^-1) = p/4 + (2p)/3 = (11p)/12

In m'n antwoorden staat:

-p/4 - (2p)/3 = -(11p)/12

Idem voor de volgende som, waar ik hoofdwaarde en modulus van (z1)²*(z2)³ moet berekenen. De modulus is geen probleem, maar bij de hoofdwaarde doe ik weer iets fouts, maar wat weet ik niet precies. Zou u mij kunnen helpen?

B.
9-10-2006

Antwoord

z^-1 betekent niks anders dan 1/z.
Dus z₁.(z₂)^-1 betekent z₁/z₂.

verder: het is handig om in dit geval met de poolcoördinaten-notatie te werken. Dus niet met z=x+iy maar met z=r.e^if.
Stel nu dat z₁=r₁.e^if₁ en z₂=r₂.e^if₂,
Dan is z₁.(z₂)^-1 = z₁/z₂ = r₁.e^if₁/r₂.e^if₂
= r₁/r₂.e^i(f₁-f₂)

De absolute waarde is r₁/r₂, en het argument is f₁-f₂

Nu is r₁=4Ö2 en r₂=4
f₁=arg(z₁)=arctan(-4/4)=arctan(-1)=-p/4 (klopt ook want 4-4i ligt in het 4e kwadrant)
f₂=arg(z₂) = arctan((2Ö3)/2) = arctan(Ö3) = p/3

Dus arg(z₁.(z₂)^-1) = f₁-f₂ = -p/4 - p/3 = -7/12p + 2kp
dus 17/12p

maar misschien dat ik nu ergens een rekenfoutje gemaakt heb?

groeten
martijn

mg
10-10-2006