WisFaq!

Meetbare deelverzamelingen

Hallo wisfaq,

Ik wil het volgende vraagstuk oplossen:

Stel E is een gegeven verzameling en O_n is een open verzameling,

O_n={x : d(x,E)1/n}

Ik wil het volgende laten zien,
Als E compact is, dan is m(E)=lim m(O_n), voor n gaat naar oneindig.

De uitspraak hoeft niet waar te zijn als E gesloten en onbegrensd is; of E open en begrensd.

Ik denk dat ik de volgende theorie kan gebruiken,
Theorie
Stel dat E_1,E_2,...meetbare verz'n zijn in de R^d
Als E_k - E en m(E_k) is eindig voor een k, dan

m(E)=lim m(E_n) (voor n gaat naar oneindig).

De notatie E_k - E staat voor (in het echt een schuine pijl naar beneden):
E_1,E_2,...is een aftelbare verzameling van deelverz'n van de R^d (R de reeele getallen), dat afneemt op de volgende manier, E_(k+1) is bevat in E_k voor alle k, en E=doorsnede van alle E_k (k=1 tot oneindig).

Als ik de volgende drie punten kan laten zien, dan kan ik de theorie gebruiken:

1.O1,O2,...is een aftelbare verz.
2.O_(k+1) is bevat in O_k voor iedere k
3.E=doorsnede O_k (k=1 tot oneind).

Maar ik begrijp niet hoe ik deze punten moet aantonen, en waar je moet gebruiken dat E compact is (gesloten en begrensd).

Groeten,

Viky

viky
9-10-2006

Antwoord

Je kunt zeker de stelling die je noemt gebruiken.
Ik weet niet hoe die stelling precies geformuleerd is maar punt 1 lijkt me niet geheel goed geinterpreteerd: het gaat er om dat rij verzamelingen hebt en die heb je hier.
2. lijkt me ook duidelijk, dat volgt omdat 1/(k+1)1/k
3. E is zeker bevat in de doorsnede. Verder, als x niet in E zit dat is de afstand d(x,E) positief (want E is gesloten), dus is er een k met 1/kd(x,E) en dan x niet in O_k.
Tenslotte: E is begrensd, er is dus een getal M zó dat ||x||M voor alle x in E; voor alle x in O_1 geldt dan ||x||M+1. Hieruit volgt dat de maat van O_1 ten hoogste (M+1)^d is en dus eindig.

Voor een tegenvoorbeeld als E gesloten maar niet begrensd is: neem
E= in ; dan m(E)=0 maar m(O_n) is altijd oneindig.

Voor een tegenvoorbeeld als E begrensd en open is: er bestaat een gesloten en nergens dichte verzameling K in [0,1] met m(K)=1/2 (en 0,1 in K). Neem E=[0,1]-minus-K; dan is E open en begrensd en m(E)=1/2. Echter, voor elke n geldt dat [0,1] een deelverzameling van O_n, dus m(O_n)1 voor alle n.

kphart
10-10-2006