WisFaq!

Raaklijn opstellen van een functie

een normale raaklijn opstellen lukt me, maar nu krijg ik iets voor de kiezen waar ik een beetje bang van word:)

bereken de raaklijn vaan de kromme xy^4+x^3y^2-6x-3y=25 in het punt (-2,-1)

Het antwoord is y=-1/3x-5/3

Zou iemand me uit willen leggen hoe dit moet?

Ronald
8-10-2006

Antwoord

voor deze som moet je een beetje op de hoogte zijn van 'differentiaalrekening'. Dus dit hoofdstuk zou ik eerst even goed doornemen. Op deze manier kun je het antwoord beter volgen.

xy⁴+x³y²-6x-3y=25
Û y⁴+4xy³.(dy/dx) + 3x²y²+2x³y.(dy/dx) -6 -3(dy/dx) = 0
Û y⁴+3x²y²-6 + (4xy³+2x³y-3)(dy/dx)=0
Û dy/dx = (-y⁴-3x²y²+6)/(4xy³+2x³y-3)

Nu heb je dus een fraaie uitdrukking voor de afgeleide van de kromme. Deze afgeleide hangt af zowel van de x als de y-coördinaat.
Vul je nu in de uitdrukking van dy/dx de coördinaat (-2,-1) in, dan levert dit:
dy/dx=-¹/₃

nb, je dient wel eerst te checken of het punt uberhaupt wel op de kromme ligt. want in dy/dx kun je wel elk punt invullen (als de noemer maar niet nul wordt) maar dit punt moet wel voldoen aan de oorspronkelijke vergelijking van de kromme.

Nu nog de vergelijking van de lijn opstellen.
In het algemeen heb je altijd twee gegevens nodig om de vergelijking op te stellen. namelijk een punt P(x_p,y_p), en een richtings-coëfficiënt m.
De vergelijking luidt dan:
y-y_p=m.(x-x_p)

Nemen we nu P(-2,-1) en m=-¹/₃
Dan levert dit de vergelijking y = -¹/₃x - 5/3

groeten,

martijn

mg
8-10-2006