WisFaq!

Injectiviteit bewijzen

Hallo,

Ik moet het volgende bewijzen: gegeven de injectieve functies f: A$\to$ B en g:B$\to$C, bewijs dat g 0 f (g na f) injectief is. Mijn bewijs is als volgt:

Omdat f injectief is:
$\forall$b$\in$B op zijn hoogst 1 a$\in$A met f(a)=b

Omdat g injectief is:
$\forall$c$\in$C $\neg$ op zijn hoogst 1 b$\in$B met g(b)=c

Daarom:
$\forall$c$\in$C at most one f(a)$\in$B met g(f(a))=c en omdat dit het geval is, is g 0 f injectief.

Ik ben alleen niet heel zeker van mijn bewijs, dus ik hoop dat jullie me kunnen vertellen of het correct is en zo niet, of jullie me in de goede richting kunnen sturen. Bij voorbaat dank,

Tim

Tim Bakker
4-10-2006

Antwoord

Nee, je bewijs is niet correct. Je laatste zin drukt niet uit dat g-na-f injectief is en verder heb je de formele definitie van injectiviteit vervangen door een wat lossere beschrijving en dat maakt het alleen maar lastiger om een correct bewijs te leveren.
De formele definitie is: f is injectief als voor elk tweetal elementen a en b van het de volgende implicatie geldt: als f(a)=f(b) dan a=b.
Dus om de injectiviteit van g-na-f te bewijzen begin je met (willekeurige) a en b in A die voldoen aan g(f(a))=g(f(b)) en vervolgens bewijs je dat a=b.

kphart
6-10-2006