WisFaq!

Vraagstuk met een 2de graadsvergelijking

Gegeven: de vgl x²+?x+?=0

Persoon A kiest een geheel getal en vult dit in op de plaats van een vraagteken. Persoon B moet op de plaats van het andere vraagteken ook een geheel getal invullen. Toon aan dat persoon B er ka voor zorgen dat de vergelijking altijd 2 gehele oplossingen heeft.

Wie kan er mij helpen?

Kevin Hendrickx
3-10-2006

Antwoord

Een tweedegraads vergelijking met twee gehele oplossingen kan worden geschreven in de vorm (x+p)(x+q)=0 met p en q geheel.
Uitwerken levert: x²+(p+q)x+pq=0
Veronderstel dat A het getal b heeft gekozen dan moet p+q=b zijn, waaruit volgt p=b-q.
Het getal dat B moet invullen moet gelijk zijn aan c=p.q
Invullen van p=b-q levert dan c=(b-q).q
Persoon B is geheel vrij in de keuze van q, behalve dat p en q niet gelijk mogen zijn. Omdat hij verder vrij is in zijn keuze van q bestaat er altijd een q waarvoor de vergelijking 2 gehele oplossingen heeft.

Voorbeeld:
A heeft b=2 gekozen.
B kiest nu een willekeurig geheel getal q zo dat p en q niet gelijk zijn, bijvoorbeeld q=-3
Dan c=(b-q).q=(2--3)*-3=5*-3=-15.
De vergelijking wordt dan x²+2x-15=0 =(x-3)(x+5)=0.

hk
3-10-2006