WisFaq!

Iteratie

De opdracht:

Bekijk de iteratie van f(x)=lxÖ(1-x)
1. Voor welke waarden van l geldt dat als 0x1 dan ook 0f(x)1?
2. Zijn er waarden van l waarvoor er sprake is van uitsterfgedrag?
3. Voor welke waarde van l is er een overgang van gedrag met periode 1 naar gedrag met periode 2?

1. f(0)= 0 en f(1)= 0 Dus top bij x=1/2
f(1/2) = l1/4 Ö2
0l 2Ö2

Maar nu opdracht 1 en 2... Wie kan/wil me helpen?
Bvd, Tjenne

Tjenne
3-10-2006

Antwoord

Dag Tjenne,

1)Dat meen je niet. Ligt bij iedere functie de top midden tussen de nulpunten? Bij een parabool ja, maar bij deze functie?

2)
Ik heb voor 6 waarden van l de grafiek van f getekend:



Voor de onderste 3 ligt de grafiek van f op <0;1> geheel onder die van de lijn y=x.
Voor de bovenste drie gedeeltelijk erboven.
Bekijk nu de onderste 3: Na 1 iteratie is de uitkomst dus kleiner geworden en bij elke volgende iteratie wordt die weer kleiner. Uitsterfgedrag dus.
De grens van het uitsterfgedrag ligt bij die waarde van l waarvoor de grafiek van f in de oorsprong raakt aan de lijn y=x.

3)
De bovenste drie grafieken hebben behalve (0,0) nog een tweede punt met de grafiek van f gemeen.
De snijpunten van de grafiek van f met de lijn y=x heten de dekpunten van f.
Onder bepaalde voorwaarden kan een dekpunt als convergentie punt van een iteratie optreden. De contractiestelling zegt welke voorwaarde.
Precies op de grens van deze voorwaarde kan overgang van periode 1 naar periode 2 optreden.
Samengevat is die voorwaarde: |f'(x)|1 in het betreffende dekpunt.
Je kunt het antwoord op vraag 3 vinden door de x-coordinaat van het rechterdekpunt uit te drukken in l. Vervolgens f' in dit dekpunt te berekenen en uit te zoeken voor welke waarde van l de absolute waarde van deze f' gelijk is aan 1

hk
4-10-2006