WisFaq!

Benaderen van een quotient met machten

Geachte heer, mevrouw,

Het blijkt zo te zijn dat je
^(1+a)X/_(1+b)^X
kunt benaderen bij ¹/_(1+a-b)^X.

Ik zie alleen het licht nog niet. Graag zou ik het antwoord op dit vraagstuk ontvangen.

M.v.g.

G. Polman
1-10-2006

Antwoord

In verband met het tikwerk doe ik even ^(1+a)x/_(1+b)^x.
Bekijk ^1+a/_1+b
Vermenigvuldig teller en noemer met 1-b, je krijgt dan
^(1+a)(1-b)/_(1+b)(1-b=^1-b+a-ab/_1-b².
Veronderstellen we nu dat a en b beide voldoende klein zijn dan kunnen we ab en b² verwaarlozen.
We houden dan over ^1-b+a/1=1-b+a=1-(b-a).
Vermenigvuldigen we dit met ^1+(b-a)/_1+(b-a) dan krijgen we
^{(1-(b-a))(1+(b-a))}/_1+(b-a)=^1-(b-a)2/_1+(b-a)
Als a en b beide klein zijn dan is b-a dat zeker en kunnen we (b-a)² verwaarlozen en houden over ¹/_1+(b-a).

(volgens mij klopt jouw formule niet en moet het inderdaad ¹/_1+(b-a) zijn, immers als ab dan is ^1+a/_1+b1 terwijl ¹/_1+(a-b) dan juist kleiner dan 1.

hk
2-10-2006