WisFaq!

Niet lineaire differentiaalvergelijking

Ben ik nou achterlijk of kom ik niet achter het antwoord van de volgende vergelijking?

y' = a*y + b*y^2 (allemaal y(t))

Ik heb van alles geprobeerd, en weet dat ik dit eerder in mijn studie al vaak heb opgelost, maar kan er nu simpelweg niet uitkomen. Ik raak telkens verward met het feit dat ze wel een functie van t zijn dus kom er ook met een karakteristieke (of hoe heet zo'n vergelijking die je "probeert"?) niet uit...
Alvast bedankt als iemand mij kan helpen.

Melchior

Melchior van Wessem
1-10-2006

Antwoord

dy/dt = ay + by²
Û dy/ay + by² = dt
Û dy/y(a+by) = dt

nou is 1/y(a+by) te schrijven als p/y + q/a+by. Het gaat erom de p en q te vinden.
p/y + q/a+by = p(a+by)/y(a+by) + qy/y(a+by)
= pa+pby+qy/y(a+by) = pa+(pb+q)y/y(a+by)
Dit moest dus identiek zijn aan 1/y(a+by)
Vergelijken we beide breuken, dan concluderen we dat dit kan alléén als pa=1 en pb+q=0
-- p=1/a en dus q=-b/a
DUS:...
1/y(a+by) = 1/ay - b/a²+aby (a & b constanten!!)

Je dv ziet er dus als volgt uit:

{1/ay - b/(a²+aby)}dy = dt

Kun je het van hieraf verder zèlf?

groeten,
martijn

mg
1-10-2006