WisFaq!

Parametervergelijking van een rechte die twee gegeven rechtes snijdt

Een oefening uit het boek Delta 5/6 Ruimtemeetkunde:

Gegeven zijn

de rechte a met vergelijking
x = -1
y-z = 0

en de rechte b met vergelijking
x = 1
y+z = 0

De vraag is: zoek een parametervergelijking van de rechte c die de rechte a en de rechte b snijdt en waarvan (1,1,0) een stel richtingsgetallen is.

---------------------

Het enige dat ik dus nog nodig heb om de parametervergelijking te kunnen opschrijven is een punt (a,b,c) dat op de rechte ligt.

De vergelijking is dan (met als r een willekeurig reëel getal):
x = r + a
y = r + b
z = c

Maar hoe vind ik die a, b en c ???

Eva De Bruyn
27-9-2006

Antwoord

Hallo Eva,

De eis van de richtingsgetallen heb je al goed vertaald: de vergelijking van de gezochte rechte L is
x = r + a
y = r + b
z = c

waarin je a,b,c moet vinden.

Nu de andere eisen: deze rechte moet de eerste rechte snijden. Dus voor een bepaalde r-waarde (bv r₁) moet het punt (r₁+a,r₁+b,c) op de eerste gegeven rechte liggen. Dat is zo als
r₁+a=-1
r₁+b=c

Elimineer r₁ hieruit, dan kom je uit op b=a+c+1.

Doe nu hetzelfde voor de tweede rechte: vertolk de eis dat een bepaald punt van L, (r₂+a,r₂+b,c), op de tweede gegeven rechte ligt. Dat geeft weer twee gelijkheden, elimineer r₂. Je zou moeten uitkomen op a=b+c+1.

Combineer de twee resultaten en je hebt de uitkomst (er zit nog een vrijheidsgraad in: je mag a zelf kiezen, kies die dan bijvoorbeeld gelijk aan nul)

Groeten,
Christophe.

Christophe
27-9-2006