WisFaq!

De som van de kwadraten van de eerste natuurlijke getallen

ik moet een bewijs zoeken voor 1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

en ik heb al:
bewijs dat het juist is voor n=1 Û1(1+1)(2+1)/6=1
doordat dit klopt kon ik nu d.m.v inductie 2 vergelijken opstellen
we veronderstellen: 1²+2²+...+k²=k(k+1)(2k+1)/6 met n=k
we moeten bewijzen: 1²+2²+...+(k+1)²=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

hieruit volgde dat:
1²+2²+...+(k+1)²
=1²+2²+...+k²
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²
maar verder geraak ik ni. Zou je dit a.u.b voor mij willen oplossen?

Marijke De Pauw
25-9-2006

Antwoord

Beste Marijke,

Voor je oplossen heeft niet zo veel zin, maar ik wil je wel helpen.

Gegeven: 1²+...+k² = k(k+1)(2k+1)/6 (*)
Te bewijzen: 1²+...+k²+(k+1)² = (k+1)(k+2)(2k+3)/6 (**)

Gebruik makend van (*) kan je in (**) van beide leden 1²+...+k² aftrekken, zodat er links enkel nog (k+1)² overblijft. Maar rechts kan je 1²+...+k² vervangen door het rechterlid van (*), zodat je moet bewijzen:

(k+1)² = (k+1)(k+2)(2k+3)/6 - k(k+1)(2k+1)/6

Vertrek natuurlijk van het rechterlid, gewoon vereenvoudigen.

mvg,
Tom

td
25-9-2006