WisFaq!

Re: Re: Afstand tussen twee kruisende rechten

Sorry, maar ik begrijp het nog altijd niet?

Je hebt een vlak waarin de twee rechten liggen. Dit was toch niet hetgeen wat je wou bekomen? Je wou een vlak waarin één rechte gelegen was evenwijdig aan de andere rechte zodat je de afstand tussen twee kruisende rechten kon herleiden naar de afstanden tussen een punt een vlak. Dit herleiden is toch niet mogelijk? Hoe kun je nu de afstand van een punt berekenen tot een vlak waar dat punt inligt?

Sorry voor de onbegrijpendheid
Groetjes
Pieter

Pieter
21-9-2006

Antwoord

Misschien dat het verhelderend werkt als ik een concreet voorbeeld uitwerk.

Stel je hebt 2 kruisende lijnen met vectorvoorstellingen:

l₁: (x,y,z) = (2,2,0) + l(0,1,0)
l₂: (x,y,z) = (-1,0,0) + m(0,1,1)

gevraagd de (kortste) afstand tussen de 2 lijnen.
(schets deze lijnen eens voor jezelf!)

aanpak:
1. bepaal eerst de vgl van het vlak DOOR l₁, en evenwijdig aan l₂.
2. neem een willekeurig punt op l₂ en bereken de afstand tot het vlak.

1. de vergelijking van een vlak is van de gedaante ax+by+cz=d, de vector (a,b,c) is de normaal van het vlak.
Deze normaalvector krijgen we door het "uitprodukt" te nemen van de richtingsvectoren van de 2 lijnen:
(0,1,0)x(0,1,1)=(1,0,0)
het vlak heeft dus de vergelijking 1.x+0.y+0.z=d ofwel x=d
De d bepalen we door een punt (van l₁) in te vullen. We vullen (2,2,0) in, waaruit blijkt dat d=2
vergelijking van V: x=2

2.
De afstand van een punt P(x_p,y_p,z_p) tot een vlak V:ax+by+cz=d gaat met de formule:

d(P,V)=|a.x_p+b.y_p+cz_p-d|/Ö(a²+b²+c²)

als punt nemen we de plaatsvector (-1,0,0) van l₂:
d(P,V)=|1.-1 + 0.0 + 0.0 -2|/Ö(1²+0²+0²) = 3/1 = 3

Hopelijk helpt dit voorbeeld je wat verder.

groeten,

martijn

mg
21-9-2006