WisFaq!

Re: Compacte en positieve operatoren

Hallo,

Ik heb nog enkele vragen over het bewijs:

bewijs
T is zelfgeadj. en compact dus we mogen de spectraalstelling gebruiken:
T=som(l_i,P_i)

vraag1.Kan ik ook schrijven Tx=som(l_i·(x,e_i)·e_i)?Wat is de uitdrukking voor T?

T is positief dus alle l_i =0.
Laat u_i=(l_i)^(1/m) en defineer S=som(u_i,P_i), dan is S^m=T.

vraag2.Kan ik hier ook schrijven Sx=som(u_i(x,e_i)e_i)?

Er moet nog aangetoond worden dat S positief en compact is.

vraag3.Compactheid van S:
In het bewijs van stelling2 gaat dit als volgt,
De compactheid volgt uit

||S-som(u_i(.,e_i)e_i)|| = sup u_i -0

de som gaat van i=1 t/m N, u_i=(l_i)¹/₂, het supremum wordt genomen over alle iN.

en stelling1.

vraag4.Hier is m=2, maar geldt het ook voor m2?
vraag5.De spectrstel. geeft ook dat ||T||=sup|l_i|,sup over alle i.Waarom is ||S-som(...)|| = sup|u_i|?En waarom gaat deze naar 0?

Groetjes,
Viky

viky
17-9-2006

Antwoord

1. Dat hangt er van af wat je met e_i bedoelt: als je een vooraf gegeven basis van H bedoelt dan niet. Echter, als je voor elke positieve eigenwaarde l een (eindige!) orthonormale basis voor de bijbehorende eigenruimte kiest en die bases samenvoegt tot een orthonormaal stelsel {e_i} dan kun je Tx inderdad zo schrijven. Er is apriori geen vaste schrijfwijze voor T; de scrijfwijze hierboven volgt uit de spectraalstelling.
2. Dit is inderdaad ook een schrijfwijze voor S.
3. Er geldt ||Sx-som(m_i(x,e_i)e_i,iN)||² = ||som(m_i(x,e_i)e_i,iN)||² = som(m_i²(x,e_i)²,iN) sup(m_i²,iN)*||x||²; trek nu links en rechts de wortel, dan heb je de afschatting voor ||S-som(...)||. Uit de compactheid van T volgt dat liml_i=0, dus ook limm_i=0.
De`waarde van m is hier niet belangrijk.

kphart
19-9-2006