WisFaq!

Compacte en positieve operatoren

Hallo wisfaq,

Laat H een complexe Hilbertruimte zijn en stel dat T een compacte en positieve operator is in B(H).Ik wil laten zien dat er voor iedere m in {1,2,3,...} een compacte en positieve operator S bestaat in B(H) zodat S^m=T.

Ik denk dat ik het volgende kan gebruiken bij het bewijs, maar misschien kan het ook anders:

Stelling1.Als X een genormeerde ruimte is, Y een Banachruimte en {T_k} is een rij van begrensde, eindige operatoren die convergeert naar T in B(X,Y), dan is T compact.

Stelling2.Laat T in B(H) zelfgeadjungeerd zijn en positief.Dan bestaat er een positieve zelfgadj. operator S in B(H) met S^2=T.Men schrijft S=T^(1/2).

Representatie voor Tx: Tx=som{l_n*(x,e_n)*e_n}, de som gaat van n=1 t/m r(T), met r(T) het aantal eigenwaarden van T (eigenwaarden zijn ongelijk 0).
{e_n} (n=1 t/tm r(t)) is de verzameling eingenvectoren die een basis vormen voor de geconjugeerde van Im T.
{l_n} is de verz. van eigenwaarden van T.

Groeten,
Viky

viky
11-9-2006

Antwoord

Ik zou de spectraalstelling gebruiken: de operator is zelf-geadjungeerd en omdat hij compact is te schrijven als som(l_iP_i,i=1..r), waarbij r het aantal eigenwaarden ongelijk nul is en P_i de bij l_i behorende eigenruimte (omdat T compact is convergeert de rij van eigenwaarden naar 0 als r oneindig is).
Elke l_i is positief; laat m_i de m-demachtswortel van l_i zijn en definieer S=som(m_iP_i,i=1..r); dan is S als gevraagd

kphart
13-9-2006