WisFaq!

Bewijs van gelijkheid van twee doorsneden

Hallo,

Te bewijzen is dat de volgende gelijkheid geldig is:

AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC)

Ik betwijfel de correctheid/volledigheid van mijn bewijs. Ik zal het geven.

(BÈC) = {xÎ | xÎB of xÎC}
AÇ(BÈC) = {xÎ | xÎA}Ç{xÎ | xÎB of xÎC} = {xÎ | xÎ(AÇB) of xÎ(AÇC)}

Dit is exact waaraan (AÇB)È(AÇC) gelijk is, of eigenlijk wat deze beschrijft.

Dit voelt niet echt als een bewijs, maar meer als een omschrijving. Kunnen jullie me helpen?

Bart Kleijngeld
6-9-2006

Antwoord

Dag Bart,

Die laatste stap is inderdaad nogal groot. Eigenlijk beschrijf je enkel je linker- en je rechterlid, en je beweert dat ze gelijk zijn.

Ik zou het eerder zo doen: stel dat een element x in het linkerlid zit. Probeer dan aan te tonen dat het ook in het rechterlid zit. Dat gaat als volgt: x zit in AÇ(BÈC), dus x zit zeker in A en x zit in B of C. Onderscheid twee gevallen:
x zit in B, dus in AÇB, dus in (AÇB)È(AÇC)
x zit in C: analoog.

En dan de andere richting: stel dat een element x in (AÇB)È(AÇC) zit. Dus x zit in A en B, of in A en C. Je hebt weer twee gevallen, toon aan dat uiteindelijk x altijd in A zit, en in BÈC.

Groeten,
Christophe.

Christophe
6-9-2006