WisFaq!

Maximale oppervlakte

Hallo
Ik kom echt niet uit deze vraag. Zouden jullie me kunnen helpen.
Je hebt de functies y= 4-x² en y= 3x
Van een rechthoek ABCD gelegen in het eerste kwadrant, liggen A en B op de x-as, C op de grafiek van 4-x² en D op de grafiek van 3x
Bereken de x coordinaat van A indien de rechthoek ABCD de grootste oppervlakte heeft.
Alvast bedankt!

dadilik
2-9-2006

Antwoord

Eerst maar even een plaatje:



Stel A heeft x-coordinaat p. Dan is A het punt (p,0);
D ligt recht boven A op de lijn y=3x. Dan is de y-coordinaat van D dus 3p. Dus D is het punt (p,3p);
Omdat het een rechthoek is is de y-coordinaat van C gelijk aan de y-coordinaat van D. Dus C=(.....,3p);
Wat moet er nu op de puntjes staan? Wel C ligt op de parabool y=4-x². Dus de x-coordinaat van C (en dus van B) kunnen we berekenen door de vergelijking 3p=4-x² op te lossen. Dit levert x=Ö(4-3p).
Dus C=(=Ö(4-3p),3p) en B=(=Ö(4-3p),0)
Omdat je nu van alle hoekpunten de coordinaten hebt uitgedrukt in p (de x-coordinaat van A) kun je de oppervlakte van de rechthoek uitdrukken in p.
Je krijgt dan Opp(ABCD)=3p*(Ö(4-3p)-p)=3pÖ(4-3p)-3p²
Als je wilt weten voor welke p dit het grootst is zou je gebruik kunnen maken van differentieren (of als het niet exact hoeft je van je GRM)

hk
2-9-2006