WisFaq!

Gebruik van parseval identiteit bij fourier

Beste Wisfaq,

Er wordt mij gevraagd m.b.v. de formule van parseval de volgende integraal te berekenen:

INtegraal van 0 tot onendig van de functie:
sin(w) / w(w² +1) dw

Ik heb geen idee waar te beginnen. Normaal is het een logische stap om na het berekenen van een bepaalde fourierreeks, fourierintegraal of fouriergetransformeerde parseval toe te passen, maar nu snap ik het niet.

-Mijn tweede vraag gaat over de inversefouriergetransformeerde. Als de fouriergestranformeerde, g(w), gegeven wordt door:

1/a² + w² . wat is g(x) dan?

Als ik recht toe recht aan formules wil gaan toepassen, kom ik op een zeer lastige integraal....

Als u me zou willen helpen: heel graag!

Met vriendelijke groet,

Loran

Loran de Vries
26-8-2006

Antwoord

Het geheim is je integraal te herkennen als de integraal van een Fourier-getransformeerde; of van een product van Fourier-getransformeerden.
Neem g(x)=exp(-x) en f(x)=1 (0$<$x$<$1) en f(x)=0 (x$>$=1).
De cosinus-Fourier-getransformeerden van f en g zijn, respectievelijk F(w)=√(2/pi)·sin(w)/w en G(w)=√(2/pi)·1/(1+w²).
Parseval zegt dat int(F(w)·G(w),w=0..oneindig)=int(f(x)·g(x),x=0..oneindig) de laatste integraal is gewoon int(exp(-x),x=0..1).
Voor je tweede vraag: ik zou het in een tabel opzoeken, zie onderstaande link.

Zie Tabel op Wikipedia [http://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_Fourier_transform]

kphart
13-9-2006