WisFaq!

Banachruimte

Hallo wisfaq,

Gegeven is het volgende standaardresultaat uit de theorie van gewone differentiaalvergelijkingen

Gegeven q in C[a,b] en a_0,...,a_(n-1) in C(comlexe getallen), dan bestaat er precies één y in C^n[a,b] die het volgende beginwaardeprobeem oplost

y^(n)+p_(n-1)*y^(n-1)+...+p_1*y'+p_0*y=q;
y^(k)(c)=a_k (k=0,...,n-1)

n=1 geheel getal, p_0,...,p_(n-1) zijn continue functies op [a,b] en c in [a,b] is een vast punt.
C[a,b] is een Banachruimte onder de norm

||f||=som[||f^(k)||_(oneindig)], som van k=0 t/m n, en f in C^(n)[a,b].

Ik wil graag een bewijs geven (functionaalanalytisch) dat y continu afhangt van q en de beginwaarden a_k (k=0,...n)maar ik begrijp niet hoe ik dat moet doen.

Groeten,
Viky

viky
17-8-2006

Antwoord

Doe het eerst eens voor n=1, dus y'+p_0y=q, en maak er een integraalvergelijking van: y(x)=a_0+int(q(t)-p_0(t)*y(t),t=c..x).
Op deze manier kun je meteen zien hoe een verandering van a_0 of q doorwerkt in de oplossing y.
Voor het algemene geval maak je een stelsel van je DV en werk je met vectorwaardige functies: z(x)=(y(x),y'(x),...y^(n-1)(x)) en herinterpreteer je het geval n=1 met z in plaats van y.

kphart
18-8-2006