WisFaq!

Een gevolg van de theorie van Hahn-Banach

Hallo wisfaq,

Ik wil graag de volgende theorie bewijzen,

Laat X een genormeerde ruimte zijn en stel dat L een lineaire deelruimte is.Dan ligt L dicht in X d.e.s.d.a.
F={f in X': f(L)=0}=0.

Het lukt me niet om deze theorie te bewijzen.De theorie is het gevolg van een gevolg van de theorie van Hahn-Banach,

Laat E een genormeerde ruimte zijn, laat G een gesloten deelruimte van E zijn, en laat y een punt in E zijn dat niet in G zit.Laat d=inf{||y-x|| : x in G}.Dan is er een element f' in E' zodat ||f'||=1, f'(y)=d, en f'(x)=0 voor alle x in G.

Groeten,

Viky

Viky
10-8-2006

Antwoord

Als L dicht ligt en f in X' voldoet aan f(x)=0 (x in L) dan volgt, wegens de continuiteit van f dat f(x)=0 voor alle x in X.
Omgekeerd: als L niet dicht ligt neem dan voor G (in je vraag) de afsluiting van L, dat is een gesloten deelruimte van X die niet heel X is; met behulp van een punt buiten G en de stelling van Hahn-Banach kun je nu een functionaal f maken die 0 is op G (en dus op L) maar die niet overal nul is. (Zie ook je vorige vraag over Hahn-Banach).

kphart
15-8-2006