WisFaq!

Integreren dmv scheiding van variabelen

Hallo,

De onderstaande vraag wordt gesteld op een proefexamen, en ik kom er niet uit.

y'(t) = 0,1(250-y(t))
y (0) = 100

Toon aan door de differentiaalvergelijking op te lossen dat geldt:

y(t) = 250-150e^-0,1t

Zoals de titel al doet vermoeden heb ik het idee dat dit gedaan moet worden dmv scheiding van variabele. Ik snap het tot zoverre dat er gedeeld moet worden door het gedeelte dat afhangt van t.

Als ik vervolgens het voorbeeld in mijn boek raadpleeg, kan ik het niet volgen. Wat wordt er bijvoorbeeld bedoeld met het integreren -naar- t. Wat is er gebeurd met gewoon integreren?

Alvast bedankt

R
3-8-2006

Antwoord

Hoi,

We willen gebruikmaken van functies die we makkelijk kunnen integreren.
Links en rechts delen door 250-y(t) levert rechts een eenvoudig te integreren functie, en links herken je wellicht een 'verborgen' standaardintegraal?

y'(t) = 0,1(250-y(t))
y'(t)/(250-y(t)) = 0,1 [Met y(t)¹250, hoewel dit ook een oplossing van de DV is]
òy'(t)/(250-y(t)) dt = ò0,1 dt
-ln|250-y(t)| = 0,1t + C [Die C is de integratieconstante van beide integralen]
ln|250-y(t)| = -0,1t - C
250-y(t) = ±e^{-0,1t - C}
y(t) = ±e^{-0,1t - C} + 250
y(t) = A·e^-0,1t+250 [met A = ±e^-C]

Dit is de algemene oplossing, maar y(0) = 100 geldt als voorwaarde, dus
y(0) = A + 250 Þ A = -150.

Dus y(t) = -150e^-0,1t+250 is de oplossing van deze DV.

Ter controle y(t) = -150e^-0,1t+250 Þ y'(t) = 15e^-0,1t en y'(t) = 0,1(250-y(t)) want 15e^-0,1t = 0,1(250 + 150e^-0,1t - 250). En tevens geldt y(0) = -150e⁰ + 250 = 100.

Groetjes,

Davy.

Davy
3-8-2006